荆门市龙泉北校    钱瑞玲

逆向思维是执果索因，知本求源，从原问题的相反方向着手的一种思维.

它是数学思维的一个重要方面，是创造性思维的一个组成部分，也是进行训练的载体，培养学生逆向思维过程，也是培养学生思维敏捷性的过程.

逆向思维点一：一元二次方程的定义

已知该方程是一元二次方程，求方程中待定字母的值.

例1  已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为           .

方法点拨：若条件中已说明是一元二次方程，则隐含条件“二次项系数不为零”.

由题意得：  解得：m=-3

逆向思维点二：一元二次方程的根

（1）已知一元二次方程的一个根，求方程中待定字母的值.

例2  关于x的一元二次方程x²+x+a=0的根是1，则a的值为（    ）

A． -1          B． 2         C． -2         D．3

方法点拨：因为x=1是方程的一个根，所以代入方程中肯定是成立的．

将x=1代入方程x²+x+a=0，得到关于a的一元一次方程1+1+a=0，则a=-2．

（2）已知一元二次方程的两个根，还原方程.

例3  请写出一个以1和5为两根的一元二次方程.

方法1：逆用“因式分解法”.

方法2：逆用“根与系数的关系”.

（3）利用根的定义构造一元二次方程.

例4   若m，n是两个不相等的实数，且满足，

求代数式的值.

方法点拨：若m是一元二次方程的一个根，则等式成立；反之，若等式成立，则m是一元二次方程的一个根.首先观察两个等式，发现它们的结构相同，可以将m，n看作一元二次方程的两根，从而利用根与系数的关系，得到，然后将代数式变形成，代入求得值为.

逆向思维点三：一元二次方程的根的判别式

已知方程根的情况，求待定字母的值或取值范围．

例5  若关于x的一元二次方程kx²-2x-1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是             ．

方法点拨：一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；反之也成立．一元二次方程的二次项系数不能为零，这一点在此类问题中经常被忽视．

由题意得：  解得：

逆向思维点四：一元二次方程的根与系数的关系

已知与两根之和或两根之积有关的代数式的值，求方程中待定字母的值.

例6  已知方程x²+2(a-1)x+a²-7a-4=0的两根为x₁,x₂，且满足．

求a的值．

方法点拨：由，变形得，然后根据一元二次方程的根与系数的关系得到一个关于a的方程，从而求出a的值．由于使用韦达定理的前提是此一元二次方程必须有实数根，因此还要将a的值回代到原方程用△检验．

由韦达定理得：